Stokes 定理是微积分基本定理在高维空间的推广. 它说明微分形式 ω 在光滑流形 M 的边界上的积分等于其外微分在 M 上的积分:∫M​dω=∫∂M​ω.

定理 1.1 (Stokes). 设 M 是定向带边 n 维光滑流形, ω 是 M 上的紧支 (n−1)-形式. 则∫M​dω=∫∂M​ω.特别地, 如果 ∂M=∅, 则 ∫M​dω=0.

证明. 取 M 的坐标图册 {Ui​}i∈I​, 其中每个开集都同胚于 n 维空间或者闭半空间. 取支于其上的单位分解, 即 M 上一族非负光滑函数 {φi​}i∈I​, 满足 φi​ 支集紧、包含于 Ui​, M 上每点都有邻域上面只有有限个 φi​ 非零, 以及 ∑i∈I​φi​=1. 令 ωi​=φi​ω, 则 ∑i∈I​ωi​=ω. 又由于 ω 紧支, 只有有限个 ωi​ 非零, 于是只需对每个 ωi​ 证明定理. 这样便只需证 M 是 n 维空间和闭半空间的情形. 以下分别证之.

M=Rn. 此时写出 ω=∑i=1n​fi​dx1​∧⋯∧dxi​​∧⋯∧dxn​, 其中 ^ 表示不出现. 只需对求和中每一项证明定理; 置换坐标可设只有第一项, 即 ω=fdx2​∧⋯∧dxn​. 此时 dω=∂x1​∂f​dx1​∧⋯∧dxn​. 由 Fubini 定理和微积分基本定理, 左边=∫Rn−1​(∫R​∂x1​∂f​dx1​)dx2​⋯dxn​=∫Rn−1​f(⋅,x2​,…,xn​)∣∣​−∞+∞​dx2​⋯dxn​=∫Rn−1​0dx2​⋯dxn​=0=右边,因为 f 紧支.

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在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=[a,b], 可以得到光滑版本的 Newton–Leibniz 公式:∫ab​f′(t)dt=f(b)−f(a).

设 C 是 R2 中一条光滑简单闭曲线, 由 Jordan 曲线定理知它围成一个区域 D. 设 f,g 是定义在 Dˉ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=D, ω=fdx+gdy, 得到光滑版本的 Green 公式:∫C​(fdx+gdy)=∫D​(∂x∂g​−∂y∂f​)dxdy.其中 C 的定向取成绕逆时针的定向.

设 Σ 是 R3 中一个可定向的光滑曲面, 带有边界 C. 设 P,Q,R 是定义在 Σ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=Σ, ω=Pdx+Qdy+Rdz, 得到 Kelvin–Stokes 公式:∫C​(Pdx+Qdy+Rdz)=∫Σ​((∂y∂R​−∂z∂Q​)dydz+(∂z∂P​−∂x∂R​)dzdx+(∂x∂Q​−∂y∂P​)dxdy).其中 Σ 的定向和 C 的定向满足右手定则.

设 Σ 是 R3 中的一个光滑简单闭曲面, 由 Jordan–Brouwer 分离定理知它围成一个区域 Ω. 设 P,Q,R 是定义在 Ωˉ 上的光滑函数. 在 Stokes 定理 (定理 1.1) 中取 M=Ω, ω=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy, 得到 Ostrogradsky–Gauß 公式:∫Σ​(Pdydz+Qdzdx+Rdzdx)=∫Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dxdydz.其中 Σ 的定向由外法向量给出.

用 Hausdorff 测度, 或者更一般的 Riemann 体积形式, 可以把 Green 公式和 Ostrogradsky–Gauß 公式写成更好看的形式, 并且推广到一般的 Riemann 流形上, 这就是散度定理.

定理 2.1 (散度定理). M 是定向 n 维 Riemann 流形, X 是其上光滑向量场, 则∫M​divX=∫∂M​⟨X,n⟩.其中 n 是 ∂M 的外法向量, divX 是 X 的散度.

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Poincaré 引理

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de Rham 定理

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Cauchy 积分公式